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Fibonacci e la Sezione Aurea

LEONARDO FIBONACCI

 Il suo vero cognome era probabilmente Bigollo, ma questo personaggio è conosciuto come Leonardo Pisano (dal nome della sua città) oppure Leonardo Fibonacci, cioè “figlio di Bonaccio“.

Nacque intorno al 1170, ma niente si sa a proposito della sua morte, come spesso accade per i personaggi più affascinanti della storia.

Viaggiando con il padre, ispettore di dogana in Algeria, venne in contatto con la civiltà islamica, che in quel periodo era la principale erede della cultura classica: in particolare, gli arabi erano riusciti non solo a conservare, ma anche ad arricchire con elementi indiani e forse cinesi le conoscenze matematiche del mondo antico, in un periodo in cui l’Europa subiva le conseguenze anche culturali della lunga crisi seguita alla caduta dello Impero Romano.

Fibonacci divenne un matematico di talento e, dopo aver appreso la cultura matematica dagli eruditi islamici, la importò in Occidente, rielaborando personalmente l’aritmetica e l’algebra di Al-Khuwarizmi ed anticipando di quasi tre secoli l’introduzione divulgativa e massiccia in Europa dello uso delle cifre arabe e della numerazione posizionale indiana.

Nel 1202 pubblicò a Pisa il Liber Abbaci in cui, oltre a dare accurate spiegazioni matematiche di carattere mercantile e monetario, propose il cosiddetto “problema dei conigli“, aprendo la strada ad una particolare speculazione mistica e filosofica sulla geometria sacra e sulla simbologia esoterica.


IL PROBLEMA DEI CONIGLI

Si pensi di avere una coppia di conigli il 1° gennaio che generi un’altra coppia di conigli il 1° febbraio e così via per tutti i mesi dell’anno il primo giorno di ogni mese. Ipotizzando che ciascuna nuova coppia produca a sua volta una nuova coppia di conigli il primo giorno di ogni mese a partire dal secondo mese di vita, si chiede quante coppie di conigli si avranno alla fine dell’anno.

Il 1° febbraio la prima coppia genera la seconda, mentre dopo un mese si avranno in totale 3 coppie, perché solo la prima era in grado di procreare.

Allo stesso modo, al mese successivo si avranno in totale 5 coppie, perché solo 2 delle 3 che si avevano ne hanno generato una ciascuna. Così non è difficile verificare che le coppie di conigli saranno 2 il 1° febbraio, 3 il 1° marzo, 5 il 1° aprile, 8 il 1° maggio, 13 il 1° giugno, 21 il 1° luglio, 34 il 1° agosto, 55 il 1° settembre, 89 il 1° ottobre, 144 il 1° novembre, 233 il 1° dicembre e 377 il 1° gennaio successivo.

La successione numerica così ottenuta è detta “Serie di Fibonacci” ed è ricostruibile in base ad una semplice relazione: ogni numero è dato dalla somma dei due che lo precedono.

LA SERIE DI FIBONACCI

 

Iniziando dai numeri 0 e 1 si avrà quindi una delle più semplici Serie di Fibonacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,…

La cosa più sorprendente e meravigliosa è ritrovare i numeri di Fibonacci in innumerevoli casi nella architettura, nel mondo dell’arte, in natura, specialmente in Botanica e in Zoologia, ed in relazione alla Spirale Aurea.

Il Numero Aureo Φ, le sue potenze, le proporzioni della Grande Piramide, il segreto delle opere d’arte di Fidia, la Divina Proporzione di Luca Pacioli e tante altre connessioni trovano la loro mistica coerenza negli studi di Fibonacci e in un cosmo ordinato e mai casuale.
 

La ricorrenza dei numeri di Fibonacci in natura era già nota nella antichità e ad esse si fa spesso riferimento come “rapporto aureo” o “divino”, a significare che durante i millenni si radicò la convinzione che tali proporzioni esprimessero qualche regola universale o legge di natura. Gli antichi greci erano profondamente convinti della armonia geometrica dell’universo.

FIBONACCI E LA BOTANICA

I numeri di Fibonacci si riscontrano nella fillotassi. La fillotassi è l'ordinamento delle foglie su un gambo o su di un ramo, o l’ordinamento dei semi o degli stami di alcuni fiori.


Uno dei problemi aperti della botanica è capire quali sono i meccanismi della fillotassi e come mai alcune disposizioni sono in natura molto più comuni di altre.


Nel regno vegetale, le foglie sui rami e i rami lungo il tronco tendono ad occupare posizioni che rendono massima l'esposizione al sole, alla pioggia, all'aria. Perciò un fusto verticale produce foglie e rami secondo schemi regolari. La successione delle foglie e dei rami ha una componente rotatoria che, con l'avanzamento verso l'alto, traccia intorno al fusto un'elica immaginaria; partendo da una foglia qualunque, dopo uno, due, tre o cinque giri dalla spirale si trova sempre una foglia allineata con la prima. A seconda della specie, questa sarà la seconda, la terza, la quinta, l'ottava, l
a tredici sema,etc…


Nell’esempio sottostante la foglia allineata con la prima è l’ottava.

Inoltre, il numero di giri compiuti per trovare la foglia allineata con la prima è generalmente un numero di Fibonacci; per il nostro esempio il numero di giri è 5

Il quoziente di fillotassi è il rapporto tra il numero di giri e il numero di foglie tra due foglie simmetriche, tale quoziente è quasi sempre il rapporto tra due numeri consecutivi o alternati della successione di Fibonacci.
Il numero dei petali di un fiore è spesso un numero di Fibonacci; In natura esistono fiori ad un solo petalo (calle), fiori con due petali (euphorbia), fiori con tre petali (trillium), fiori con 5 petali (columbine), fiori con 8 petali (bloodroot), fiori con 13 petali (black-eyed susan), fiori con 21
(shasta daisy), fiori con 34 petali (daisy), ecc.

La crescita di alcune piante (come ad esempio la Achillea ptarmica) segue uno schema ben definito. Ogni ramo impiega un mese prima di potersi biforcare. Al primo mese quindi abbiamo 1 ramo, al secondo ne abbiamo 2, al terzo 3, al quarto 5 e così via. Anche il numero delle foglie sui rami è un numero di Fibonacci.



PIGNE


La filotassi delle brattee delle pigne segue un andamento a spirale aurea. Le brattee delle pigne si dispongono in due serie di spirali dal ramo verso l'esterno, una in senso orario e l'altra in senso antiorario. Uno studio su oltre 4 mila pigne di dieci specie di pino ha rilevato che oltre il 98 per cento di esse conteneva un numero di Fibonacci nelle spirali che si diramavano in ogni direzione. Inoltre, i due numeri erano adiacenti, o adiacenti saltandone uno, nella sequenza di Fibonacci, per esempio 8 spirali in un senso e 13 nell'altro, o 8 spirali in un senso e 21 nell'altro.

MARGHERITE

Esaminando la disposizione dei capolini di una margherita si osservano due famiglie di spirali, composte la prima da curve ruotanti in senso antiorario, l’altra da curve ruotanti in senso orario. Ebbene, in moltissimi casi i numeri di curve che compongono le due famiglie sono due numeri di Fibonacci consecutivi! Per esempio, in figura, si distinguono 34 spirali che ruotano in senso orario e 21 spirali che ruotano in senso orario

 

ANANAS


Le scaglie dell'ananas presentano un'aderenza ancora più costante ai fenomeni di Fibonacci: non una sola eccezione fu trovata in un test compiuto su duemila ananas.


FIBONACCI E LA ZOOLOGIA

Nautilus Pompilius

 

La conchiglia del Nautilus Pompilius, ha una forma che richiama la spirale logaritmica equiangolare.


Il Nautilus è un mollusco diffuso principalmente nell’Oceano Pacifico occidentale e nell’Oceano Indiano. La sua conchiglia di colore bianco con screziature rosso arancio, è suddivisa all’interno in una serie di camere collegate tra loro da un canale sifone) che permette la circolazione dei liquidi da un vano all’altro.
 

La struttura della conchiglia è alla base del meccanismo che regola gli spostamenti verticali e il galleggiamento del Nautilus. Quando una camera si svuota, attraverso il sifone, dei liquidi che erano presenti al suo interno, si riempe di gas. Variando opportunamente il rapporto tra la quantità di gas e quella dei liquidi presenti nelle camere, Il Nautilus è in grado di scegliere a che profondità portarsi.

Nella struttura della conchiglia del Nautilius, si può riconoscere la presenza della sezione aurea. Gli archi successivi della spirale aurea riproducono la forma con cui il Nautilus, crescendo ingrandisce la propria conchiglia. Il rapporto tra una spira del Nautilus e quella successiva e' uguale al rapporto tra due numeri successivi di Fibonacci, che e' il numero aureo.


API

L'albero genealogico di un fuco presenta chiaramente la sequenza di Fibonacci. In uno sciame le api non sono tutte uguali: ci sono le api (femmine) e i fuchi (maschi). Le femmine sono tutte generate dall’unione dell’ape regina con un fuco e si dividono in operaie e regine. Le api regine sono api operaie nutrite con pappa reale ma, diversamente dalle operaie, sono in grado di produrre uova. I maschi nascono dalle uova della ape regina. Le femmine hanno 2 genitori: l’ape regina e un fuco, mentre i fuchi hanno un solo genitore, l’ape regina. Se prendiamo in esame l'albero genealogico di un fuco, vediamo che 1 fuco ha 1 genitore che a sua volta ha 2 genitori che a loro volta hanno 3 genitori che a loro volta hanno 5 genitori e così via.


FIBONACCI E LA CHIMICA

La successione di Fibonacci è legata anche alla struttura di alcuni cristalli particolari, detti
quasi-cristalli, tali cristalli possono essere “affettati” in modo tale che gli atomi della superficie seguono esattamente lo schema di una tassellatura di Roger Penrose.

Essa è la più semplice tassellatura aperiodica che mostri simmetria di rotazione di quinto grado: la tassellatura non ha simmetria di traslazione, ovvero non si ripete mai uguale a sé stessa, ma ruotandola di 1/5 di giro si ottiene una tassellatura identica. Ma qual è la relazione tra Tassellatura di Penrose e φ?

E’ presto detto: i “tasselli” di Penrose altro non sono che “pezzi” presi da un pentagono con inscritto un pentagramma, per cui tutte le strette correlazioni tra queste figure e φ si riflettono sulla tassellatura di Penrose.

I due tasselli fondamentali si ottengono dai triangoli rossi e da quelli gialli. Questi poi possono essere a loro volta combinati per formare dei rombi, oppure utilizzati direttamente ed accostati secondo certe regole per formare la tassellatura.

Oltre alle proprietà più ovvie derivate dalla natura dei tasselli, come le numerose apparizioni del numero φ nelle proporzioni della figura e la comparsa nelle tassellature di decagoni e pentagoni formati dallo accostamento dei tasselli, ci sono altre proprietà meno ovvie.


Sembra, ad esempio, che il rapporto tra il numero di tasselli di un tipo e il numero di tasselli dell’altro tenda a φ. Sembra inoltre che all’interno della figura tendano a formarsi spirali auree e altre disposizioni particolari e che la frequenza di queste disposizioni segua la sequenza di Fibonacci.


Non è però chiaro se tali proprietà dipendano squisitamente dalla natura della tassellatura oppure dal modo specifico che si usa per tassellare (ricordiamo infatti che la tassellatura di Penrose non è un metodo univoco, ma esistono numerosi modi per realizzarla).

Riportiamo come esempio (figura a destra) una tassellatura che mostra le proprietà classiche della tassellatura di Penrose, ma ha tanti tasselli di un tipo quanti dell’altro. La figura gode di simmetria di rotazione di 5° grado, ovvero ruotandola di 72° ritorna uguale a sè stessa


FIBONACCI E L'ASTRONOMIA

Nel nostro Sistema Solare i pianeti interni distano dal Sole nelle proporzioni della successione di Fibonacci (Mercurio 1 Venere 2, Terra 3, Marte 5) e quelli esterni distano ugualmente da Giove (Saturno 1, Urano 2, Nettuno 3, Plutone 5); anche grazie a questa coincidenza gli astronomi riuscirono a determinare l’esistenza di Nettuno.


Da osservazioni sperimentali si è riscontrato che alcune Galassie, tra cui anche la via Lattea, presentano bracci luminosi di formazione stellare che si estendono dal centro seguendo il tracciato di una spirale aurea. Anche la coda delle comete assume la forma di spirale aurea.
 


FIBONACCI E L'ARCHITETTURA


Il Partenone

Il Partenone è un antico tempio greco risalente al 440/430 s.c. costruito sulla cima di un colle che domina la città di Atene. Era dedicato alla dea Atena, protettrice della città.

La sua pianta mostra che il tempio fu costruito su un rettangolo 'radice quadrata di 5', cioè che la lunghezza è radice di 5 volte la larghezza.
Il Partenone contiene molti rettangoli aurei. Ne deriva un aspetto armonico, che ispira una profonda sensazione di equilibrio.
La proiezione ortagonale della facciata mostra come essa sia stata costruita su un rettangolo aureo, in modo che la larghezza e la altezza stiano nel rapporto: F:1 (la lettera F è tale in onore di Fidia, progettista del Partenone).
La proporzione aurea è presente anche nel tempio di Atena,
in Paestum.


La Grande Piramide

Uno dei casi più dibattuti circa l'antico Egitto riguarda la presenza della sezione aurea - e non solo - nella piramide di Cheope presso la Piana di Giza. La piramide è anche l'unica delle sette meraviglie ad essere giunta fino a noi intatta.

Il mito esoterico - numerologico che circonda la Grande Piramide nasce probabilmente in seguito alla opera di John Taylor: The Great Pyramid: Why Was it Built and Who Built it?, pubblicata nel 1859 e suffragata dallo studioso astronomo e piramidologo Charles Piazzi Smyth.


FIBONACCI ED I CERCHI NEL GRANO


Se l’uomo è destinato a tornare al cosmo, come avverrà tutto ciò?
I crop circle sembrano contenere la risposta ed è proprio la spirale di Fibonacci ad indicarci la strada.

Il 7 luglio 1996, presso Stonehenge, è apparsa una meravigliosa formazione a spirale raffigurante la Sezione Aurea e il “Diagramma di Fibonacci”.
Questa forma è il risultato di una sequenza di numeri interi, nei quali ogni singolo valore è dato dalla somma degli ultimi due.
Ogni valore ottenuto è riportato in un diagramma che assume la forma di una spirale, perfettamente coincidente con quanto rappresentato nel crop circle di Stonehenge: forse i "circlemakers" hanno voluto comunicarci come è possibile arrivare al cosmo.
Infatti la spirale aurea è basata sul valore di 1,615 che è un numero ricorrente in natura.

La sequenza numerica di Fibonacci, basilare per la geometria sacra delle civiltà antiche, è la chiave per capire come la natura disegni le sue creature.

E' quanto stiamo scoprendo oggi, accettando il fatto che l’Universo abbia più dimensioni o passaggi intercomunicanti nei quali i nostri visitatori viaggiano senza problemi, utilizzando delle feritoie in una griglia interdimensionale che si dischiude esattamente come una spirale.
 

Gli antichi probabilmente lo sapevano già, quando costruivano i loro monumenti sacri rispettando la “spirale aurea” (forse l’intero complesso di Giza - esaminato in precedenza - edificato sulla base della spirale aurea, aveva anche la funzione di collegare una dimensione all’altra).


IN CONCLUSIONE

Quelle descritte sono appena una piccola parte delle attinenze riscontrabili tra la serie di Fibonacci e una infinita varietà di espressioni naturali, architettoniche ed artistiche.

Ritroviamo il rettangolo aureo in opere come la Gioconda e L'Ultima Cena di Leonardo Da Vinci. Lo ritroviamo nella Venere del Botticelli. Ritroviamo la serie di Fibonacci nella musica classica, nella astronomia, nella informatica e perfino nella conformazione ad elica del DNA. Leonardo Fibonacci è stato certamente una delle figure più importanti nel campo della matematica. I suoi studi furono così importanti che tutt'oggi esiste una pubblicazione periodica dedicata interamente alla sequenza aritmetica da lui elaborata, il "Fibonacci Quarterly". Al matematico è stato anche dedicato un asteroide, scoperto nel 1982, il 6765 Fibonacci.

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08/02/2011 scritto da BATENZO